什么是函数：从输入到输出

前面我们一直在给数据做动作：点积把两个向量变成一个数，矩阵把一组数变成另一组数。但把数字写在纸上，并不会自己产生答案。中间必须有一条输入怎样变成输出的规则。

想象奶茶店的小票机：输入购买杯数 x，规则是每杯 2 元、另收 1 元包装费。输入 3，它显示 7；输入 5，它显示 11。把所有这些情况统一写成 f(x)=2x+1，便得到一个函数。

把每一行画成一个点 (x,f(x))，就得到函数图像。横轴是输入，纵轴是输出；不要把「函数的输出数字」与「曲线有多陡」混为一谈，后者要等下一课的导数来测。

还要留意定义域：规则允许送进哪些输入。奶茶的杯数通常只取非负整数；数学里的 2x+1 可以定义在全部实数上。写同一个公式，不代表使用场景相同。

f(x)=2x 是线性规则，f(x)=2x+1 是加了偏移的仿射规则。两者图像都是直线，却只有前者把 0 映到 0、满足第 05 课的线性条件。g(x)=x² 是非线性：它画出一条弯曲的抛物线。

现在把两台机器串起来。先过 f 再过 g，记作 g(f(x))；先过 g 再过 f，记作 f(g(x))。括号最里面的动作先发生。

同一个输入，换个顺序答案就不同。神经网络也是一连串函数复合，只不过输入、输出可以是向量与张量。

假设每轮数量都翻倍，0、1、2、3 轮后分别是 1、2、4、8。这种「每轮按同一个倍数增长」由指数 2ˣ 描述，不是每轮加同一个数。

反过来问：「从 1 开始翻倍，几轮到 8？」答案是 log₂8=3。对数就是问指数里的那个数是多少。

e≈2.718 是一个特别常用的底数。ln 是以 e 为底的自然对数：ln(1)=0，0<x<1 时 ln(x)<0。因此概率 p 在 (0,1] 内时，−ln(p) 是非负的，p 越小它越大。信息论章节会把这个性质用起来。

先选择直线，调输入 x，看输出怎样跟着变。换成平方与指数，再比较两种复合顺序。最后选 ln(x)，把 x 调到 0 或负数，留意定义域的边界。

后面的激活函数与 Softmax 会使用这些规则，但此刻不急着组装网络。我们先问一个更基础的问题：在当前输入附近，输出对一点点变化有多敏感？下一课用导数与梯度回答。