矩阵的常见运算

上一课，你已经替奶茶店发明了一张配方表 W。每一行是一杯饮品，每一列是一种原料。把今天的原料单价 x 放进去，Wx 就会吐出三杯饮品的成本。

可老板又递来一张纸：「下周每天的价格都不一样，能不能把整周的成本一次算出来？」最小方案很直接：每天各算一次 Wx，再把答案排在一起。这能用，但七天要写七遍同样的动作。

先只看两天。我们沿用原来的配方，第一天价格是 [1,2,1,0]，第二天是 [2,1,2,1]。把它们作为两列，X 就是一张 4×2 的价格表。

于是第一列成本是 [4,9,4]，第二列是 [8,8,9]。合起来，Y 的每行是一款饮品，每列是一天。任意一个格子 Yᵢⱼ，都来自W 的第 i 行与 X 的第 j 列做点积。所谓「行乘列」，原来就是老朋友点积。

中间两个 n 必须相等，它们对应要配对相乘的项数；结果保留外侧的 m 行与 k 列。不匹配的形状不是算得不准，而是这个矩阵乘法根本没有定义。

老板习惯「一天一行」的报表，我们刚才却把一天放在一列。怎么办？把行和列交换，得到转置 Xᵀ：原来的 4×2 变成 2×4，格子 Xᵢⱼ 搬到 Xᵀⱼᵢ。数字没改，排列和轴的角色变了。

另一个容易认错的亲戚是逐元素乘法 A⊙B：同样大小的两张表，对应格子各自相乘，不求和，结果仍是同样的形状。它适合给每个位置单独打折、加门控或遮罩。

给图片先旋转再横向拉宽，与先横向拉宽再旋转，最后的形状可能不同。计算也如此：B(Ax)=(BA)x，最靠近 x 的矩阵先作用。

所以通常 AB≠BA，有时交换顺序后连形状都不匹配。不过结合方式可以变：(AB)C=A(BC)，只要各次乘法有定义。下一课会把「矩阵代表动作」这个几何视角展开。

把第二天的珍珠价格调高，看三杯饮品的成本分别增加多少。哪款配方用珍珠最多，哪款成本就对这个价格最敏感。再换成错误形状，看看为什么无法开始算。

神经网络处理一批输入时，也在重复这个逻辑：同一组权重，对多个向量做同一种变换。到了注意力章节，QKᵀ 则会把一组查询与一组键的点积排成整张匹配表。先理解这里的行、列与配对，后面就不会只看到一串陌生符号。